第一类边值问题的最大模估计
设 满足方程
的解,则 ,其中
证明
令 ,则 ,,由前面的推论(极小值估计)
故 , .
三类边值问题的解的唯一性
第三类
考虑第三类边值问题
解的唯一性.只需说明
只有零解.若不然,则方程的解有正最大值或负最小值.由极值原理,正最大值可在边界取到,根据边值、初值条件之必在 处取到,设 达到最大值,则 ,故
矛盾.
第二类
考虑第二类边值问题
只需证明方程
只有零解.
取 ,则 ,
即
取 ,则上述方程变为
再令 ,则可得 满足的方程为
取 ,则 ,断言: 在 上的正最大值在边界取到.
若不然,设在 取到最大值,则
代入方程可知矛盾.
接下来仿照第三类边值的过程,设 在 取到正的最大值,则它只能位于 上,因此 ,,从而 ,矛盾.
故 不能达到正最大值.同理不能达到负最小值.故 ,.
初值问题的最大模估计
设 ,是初值问题
的有界解,则
证明
令 ,,
对任意 ,在 上考虑辅助函数
其中
则
由极值原理,,取 充分大,使得 ,由于 ,故
令 ,即证.