一维最大模估计

第一类边值问题的最大模估计

u 满足方程

{\lcalu=f,(0,l)×(0,+)u=φ,[0,l]×{t=0}u|x=0=g1,u|x=l=g2

的解,则 maxQ¯T|u|FT+B,其中

F=maxQT|f|,B=max{maxx[0,l]|φ|,maxt(0,T)|g1|,maxt(0,T)|g2|}.

证明

v=Ft+Bu,则 \lcalv=Ff0v|QT=Ft+Bgi0,由前面的推论(极小值估计)

minQ¯Tv=minQTv0.

v(x,t)=Ft+Bu0|u|Ft+B

三类边值问题的解的唯一性

第三类

考虑第三类边值问题

{ut\laplaceu=0,(0,l)×{t>0}u(0,t)=μ1(t),(ux+hu)(l,t)=μ2(t), h>0u(x,0)=φ(x).

解的唯一性.只需说明

{ut\laplaceu=0,(0,l)×{t>0}u(0,t)=0,(ux+hu)(l,t)=0, h>0u(x,0)=0.

只有零解.若不然,则方程的解有正最大值或负最小值.由极值原理,正最大值可在边界取到,根据边值、初值条件之必在 x=l 处取到,设 (l,t) 达到最大值,则 ux(l,t)0,故

(ux+hu)(l,t)>0

矛盾.

第二类

考虑第二类边值问题

{ut\laplaceu=fu(0,t)=μ1(t),ux(l,t)=μ2(t)u(x0)=φ(x)

只需证明方程

{ut\laplaceu=0u(0,t)=0,ux(l,t)=0u(x0)=0

只有零解.

u~(x,t)=w(x)u(x,t),则 u=u~w

ux=wxw2u~+u~xw,wxx=(wxxw2+2wx2w3)u~3wxw2u~x+u~xxw.

0=\lcalu=u~tw+(wxxw22wx2w3)u~+2wxw2u~xu~xxwu~(0,t)=0,u~x(l,t)=(wxu+uxw)(l,t)=wx(l,t)u(l,t)=wx(l,t)w(l,t)u~(l,t)u~(x,0)=0

w(x)=x+l+1,则上述方程变为

{u~tu~xx=2x+l+1u~x+2(x+l+1)2u~u~(0,t)=0,(u~x+u~)(l,t)=0u~(x,0)=0

再令 v(x,t)=\natureλtu~(x,t) ,则可得 v 满足的方程为

{v~tv~xx=2(x+l+1)vx(λ2(x+l+1)2)vv(0,t)=0,(vx+v)(l,t)=0v(x,0)=0

λ>2,则 λ2(x+l+1)2>0,断言:vQT 上的正最大值在边界取到.

若不然,设在 (x0,t0) 取到最大值,则

vt(x0,t0)0, vx(x0,t0)=0, vxx(x0,t0)0,(λ2(x+l+1)2)v(x0,t0)>0

代入方程可知矛盾.

接下来仿照第三类边值的过程,设 v(x¯,t¯) 取到正的最大值,则它只能位于 x=l 上,因此 vx(x¯,t¯)0v>0,从而 v+vx>0,矛盾.

v 不能达到正最大值.同理不能达到负最小值.故 v0u0.

初值问题的最大模估计

u,是初值问题

{utuxx=f(x,t),R×(0,T]u(x,0)=φ(x),xR

的有界解,则

supQ¯T|u|TsupQT|f|+supR|φ|

证明

F=supQT|f|Φ=supR|φ|M=supQT|u|
对任意 l>0,在 QTl=(l,l)×(0,T] 上考虑辅助函数

w(x,t)=Ft+Φ+vl(x,t)±u(x,t)

其中 vl(x,t)=Ml2(x2+2t).

{utuxx=F±f(x,t)0w|t=0=Φ+Ml2x2±φ(x)0w|x=±lM±u0.

由极值原理,minQ¯Tlw=minQTlw0,取 l 充分大,使得 (x0,t0)QTl,由于 w(x0,t0)0,故

|u(x0,t0)|Ft0+Φ+Ml2(x02+2t0)

l+,即证.